Question

操作：如圖①，點O為線段MN的中點，直線PQ與MN相交于點O，請利用圖①畫出一對以點O為對稱中心的全等三角形。

根據上述操作得到的經驗完成下列探究活動：（本題12分）
探究一：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE＝∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的等量關系，并證明你的結論；

探究二：如圖③，DE、BC相交于點E，BA交DE于點A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB。若AB＝5，CF＝1，求DF的長度。

Answer 1

解：（1）如圖

（2）結論：AB=AF+CF．
證明：分別延長AE、DF交于點M．

∵E為BC的中點，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，
在△ABE與△MCE中，

∴△ABE≌△MCE，
∴AB=MC，
又∵∠BAE=∠EAF，
∴∠M=∠EAF，
∴MF=AF，
又∵MC=MF+CF，
∴AB=AF+CF；
（3）分別延長DE、CF交于點G．

∵AB∥CF，
∴∠B=∠C，∠BAE=∠G，
∴△ABE∽△GCE，

∵AB=5，
∴GC=10，
∵FC=1，
∴GF=9，
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠G，
又∵∠BAE=∠EDF，
∴∠G=∠EDF，
∴GF=DF，
∴DF=9．

（1）根據全等三角形的判定中的邊角邊為作圖的理論依據，來畫出全等三角形．
（2）本題可通過作輔助線將AB，FC，AF構建到一個相關聯的三角形中，可延長AE、DF交于點M，不難證明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，現在只要將AF也關聯到三角形BEC中，我們發現，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD），那么三角形AMF就是個等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC；
（3）本題的作法與（2）類似，延長DE、CF交于點G，不難得出△ABE∽△GCE，
可根據線段的比例關系和AB的值得到CG的值，然后就能得出FG的值，同（2）可得出△DFG是等腰三角形，那么DF=GF，這樣就求出DF的值了．