Question

【題目】如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D．

求證：（1）ED=EC；

（2）∠ECD=∠EDC；

（3）射線OE與CD有什么關系？（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）OE是線段CD的垂直平分線.

【解析】分析：（1）由E為∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，根據角平分線的性質，可證得ED=EC，∠OED=∠OEC，繼而可證得EC=ED；（2）根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得EC=DE，再根據等邊對等角證明即可；(3) 利用“HL”證明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根據全等三角形對應邊相等可得OC=OD，然后根據等腰三角形三線合一證明．

證明：（1）∵點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC（AAS），∴EC=ED；

（2）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE為等腰三角形，

∴∠ECD=∠EDC；

（3）∵OC=OD，且DE=EC，∴OE是線段CD的垂直平分線．