Question

【題目】【問題情境】

如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．

【探究展示】

（1）證明：AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

【拓展延伸】

（3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）、（2）中的結論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析；（3）成立，見解析

【解析】

試題分析：（1）從平行線和中點這兩個條件出發，延長AE、BC交于點N，如圖1（1），易證△ADE≌△NCE，從而有AD=CN，只需證明AM=NM即可．

（2）作FA⊥AE交CB的延長線于點F，易證AM=FM，只需證明FB=DE即可；要證FB=DE，只需證明它們所在的兩個三角形全等即可．

（3）在圖2（1）中，仿照（1）中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立；在圖2（2）中，采用反證法，并仿照（2）中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立．

（1）證明：延長AE、BC交于點N，如圖1（1），

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠ENC．

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE．

∴∠ENC=∠MAE．

∴MA=MN．

在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE（AAS）．

∴AD=NC．

∴MA=MN=NC+MC

=AD+MC．

（2）AM=DE+BM成立．

證明：過點A作AF⊥AE，交CB的延長線于點F，如圖1（2）所示．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．

∵AF⊥AE，

∴∠FAE=90°．

∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

在△ABF和△ADE中，

∴△ABF≌△ADE（ASA）．

∴BF=DE，∠F=∠AED．

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE．

∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠FAB

=∠FAM．

∴∠F=∠FAM．

∴AM=FM．

∴AM=FB+BM=DE+BM．

（3）①結論AM=AD+MC仍然成立．

證明：延長AE、BC交于點P，如圖2（1），

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠EPC．

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE．

∴∠EPC=∠MAE．

∴MA=MP．

在△ADE和△PCE中，

∴△ADE≌△PCE（AAS）．

∴AD=PC．

∴MA=MP=PC+MC

=AD+MC．

②結論AM=DE+BM不成立．

證明：假設AM=DE+BM成立．

過點A作AQ⊥AE，交CB的延長線于點Q，如圖2（2）所示．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．

∵AQ⊥AE，

∴∠QAE=90°．

∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

∴∠Q=90°﹣∠QAB

=90°﹣∠DAE

=∠AED．

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE．

∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠QAB

=∠QAM．

∴∠Q=∠QAM．

∴AM=QM．

∴AM=QB+BM．

∵AM=DE+BM，

∴QB=DE．

在△ABQ和△ADE中，

∴△ABQ≌△ADE（AAS）．

∴AB=AD．

與條件“AB≠AD“矛盾，故假設不成立．

∴AM=DE+BM不成立．