Question

【題目】如圖，在⊙O 中，AB 是直徑，CD 是弦，AB⊥CD 于點 E，BF∥OC，連接 BC 和 CF ，CF 交 AB 于點 G．

（1）求證：∠OCF=∠BCD ；

（2）若 CD=8，tan∠OCF=，求⊙O 半徑的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O半徑的長為5

【解析】

（1）利用垂徑定理得到，再根據圓周角定理得到∠BCD＝∠BFC，接著根據平行線的性質得∠OCF＝∠BFC，從而得到∠OCF＝∠BCD；
（2）用垂徑定理得到CE＝CD＝4，再利用tan∠OCF＝tan∠BCD＝，得到BE＝2，設OC＝OB＝x，則OE＝x1，在Rt△OCE中利用勾股定理得到x2＝（x2）2＋42，然后解方程即可．

（1）證明：∵AB是直徑，AB⊥CD，
∴，
∴∠BCD＝∠BFC，
∵BF∥OC
∴∠OCF＝∠BFC，
∴∠OCF＝∠BCD；
（2）∵AB⊥CD，CD=8，
∴CE＝CD＝4，
∵∠OCF＝∠BCD
∴tan∠OCF＝tan∠BCD＝，

∵CE＝4
∴BE＝2，
設OC＝OB＝x，則OE＝x2，
在Rt△OCE中，∵x2＝（x2）2＋42，解得x＝5，
即⊙O半徑的長為5．