Question

【題目】如圖，在正方形中，平分，交于點垂直平分線段 ，分別交、 、延長線于點、、，則下列結論： ①； ② ； ③ ； ④ ．其中正確的結論是__________．（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

：①在△AOH和△BIH中，根據三角形內角和定理，如圖兩個角對應相等，則第三個角∠FIB=∠BAE=22.5°；

②根據線段中垂線定理證明∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，可得EG∥AB；

③根據等量代換可得：∠CGF=∠BHI，可作判斷；

④連接EH，證明四邊形AHEG是菱形，根據EH＞BH，及相似三角形的性質可作判斷．

解：①如圖，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠BAD=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=22.5°，
∵IF是AE的中垂線，
∴AE⊥PQ，
∴∠AOH=90°，
∵∠AOH=∠HBI=90°，∠AHO=∠IHB，
∴∠FIB=∠BAE=22.5°；

故①正確；

②∵OG是AE的中垂線，
∴AG=EG，
∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，
∴EG∥AB，
故②正確；

③∵∠HAO=∠GAO，∠AOH=∠AOG=90°，
∴∠AHO=∠AGO，
∵∠CGF=∠AGO，∠BHI=∠AHO，
∴∠CGF=∠BHI，
在Rt△BHI中，tan∠CGF=tan∠BHI=，
故③正確；

④連接EH，
∵AH=AG=EG，EG∥AB，
∴四邊形AHEG是菱形，
∴AH=EH=EG＞BH，
∴≠，
∵EG∥AB，
∴△CEG∽△CBA，
∴=()2≠,
故④不正確；
本題正確的是：①②③，
故答案是：①②③．