Question

如圖，直線y=x+m（m≠0）交x軸負半軸于點A、交y軸正半軸于點B且AB=5，過點A作直線AC⊥AB交y軸于點C．點E從坐標原點O出發，以0.8個單位/秒的速度沿y軸向上運動；與此同時直線l從與直線AC重合的位置出發，以1個單位/秒的速度沿射線AB方向平行移動．直線l在平移過程中交射線AB于點F、交y軸于點G．設點E離開坐標原點O的時間為t（t≥0）s．

（1）求直線AC的解析式；

（2）直線l在平移過程中，請直接寫出△BOF為等腰三角形時點F的坐標；

（3）直線l在平移過程中，設點E到直線l的距離為d，求d與t的函數關系．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=﹣x﹣     （2）F₁（，）、F₂（﹣，）、F₃．（﹣，2）

（3）d=﹣t+        d=t﹣

【解析】

試題分析：（1）∵y=x+m交x軸負半軸于點A、交y軸正半軸于點B，

∴B（0，m）、A（﹣3，0）．

∵AB=5，

∴m²+3²=5²，

解得m=±4．

∵m＞0，

∴m=4．

∴B（0，4）．

∴OB=4．

∵直線AC⊥AB交y軸于點C，易得△BOA∽△AOC，

∴=．

∴CO===．

∵點C在y軸負半軸上，

∴C（0，﹣）．

設直線AC解析式為y=kx+b，

∵A（﹣3，0），C（0，﹣），

∴，

解得，

∴y=﹣x﹣；

（2）F₁（，）、F₂（﹣，）、F₃．（﹣，2）；

（3）分兩種情況：第一種情況：當0≤t≤5時，

如圖，作ED⊥FG于D，則ED=d．

由題意，FG∥AC，

∴=，

∵AF=t，AB=5，

∴BF=5﹣t．

∵B（0，4），

∴BC=4+=．

∴=．

∴BG=（5﹣t）．

∵OE=0.8t，OB=4，

∴BE=4﹣0.8t．

∴EG=（5﹣t）﹣（4﹣0.8t）=﹣t．

∵FG⊥AB，ED⊥FG，

∴∠GDE=∠GFB=90°．

∴ED∥AB．

∴=．

∴=．

∴d=﹣t+．

第二種情況：當t＞5時，

如圖（2），

作ED⊥FG于D，則ED=d，

則題意，FG∥AC，

∴=．

∵AF=t，AB=5，

∴BF=t﹣5．

∵B（0，4），C（0，﹣），

∴BC=4+=．

∴=．

∴BG=（t﹣5）．

∵OE=0.8t，OB=4，

∴BE=0.8t﹣4，EG=（t﹣5）﹣（0.8t﹣4），

=t﹣．

∵FG⊥AB，ED⊥FG，∠GDE=∠GFB=90°，

∴ED∥AB．

∴=．

∴=．

∴d=t﹣．

考點：一次函數綜合題；待定系數法求一次函數解析式；兩條直線相交或平行問題；等腰三角形的性質；相似三角形的判定與性質．

點評：此題考查了一次函數的綜合；解題的關鍵是求出各點的坐標，再用各點的坐標求出解析式，注意（3）中分兩種情況進行討論，不要漏掉．