Question

【題目】如圖,線段AB＝8,射線BG⊥AB,P為射線BG上一點,連接AP,作AP⊥CP且AP=CP,連接AC，PD平分∠APC,且C、D與點B在AP兩側,在線段DP取一點E,使∠EAP＝∠BAP,連接CE與線段AB相交于點F(點F與點A、B不重合).

(1)求證:△AEP≌△CEP;

(2)判斷CF與AB的位置關系,并說明理由;

(3)求△AEF的周長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CF⊥AB，理由見解析；（3）16.

【解析】

由PD平分∠APC，AP=CP，可得∠APD=∠CPD，從而證得△AEP≌△CEP；由△AEP≌△CEP，可得∠EAP＝∠ECP,根據等量代換可得∠AMF+∠PAB＝90°，從而得出位置關系；過點 C 作CN⊥PB．可證得△PCN≌△APB

解： (1)∵DP平分∠APC, PC＝PA,

∴∠APD＝∠CPD＝45°,

又因為PE＝PE,

∴△AEP≌△CEP(SAS);

(2)CF⊥AB．

理由如下:∵△AEP≌△CEP,

∴∠EAP＝∠ECP,

∵∠EAP＝∠BAP．

∴∠BAP＝∠FCP,

∵∠FCP+∠CMP＝90°,∠AMF＝∠CMP,

∴∠AMF+∠PAB＝90°,

∴∠AFM＝90°,

∴CF⊥AB;

(3)過點 C 作CN⊥PB．可證得△PCN≌△APB,

∴CN＝PB＝BF,PN＝AB,

∵△AEP≌△CEP,

∴AE＝CE,

∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF＝AB+BF+AF＝2 AB＝16.