Question

如圖1，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）、D(2, n)三點．

（1）求拋物線的解析式及點D坐標；
（2）點M是拋物線對稱軸上一動點，求使BM－AM的值最大時的點M的坐標；
（3）如圖2，將射線BA沿BO翻折，交y軸于點C，交拋物線于點N，求點N的坐標；
(4)在（3）的條件下，連結ON,OD，如圖2，請求出所有滿足△POD∽△NOB的點P坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）．

Answer 1

（1）y=x²﹣3x；（2，﹣2）；（2）（，）；（3）（）；（4）（）或（）．

試題分析：（1）根據曲線上點的坐標與方程的關系，將（3，0）、B（4，4）代入y=ax²+bx即可求得拋物線的解析式，令x=2，即可求得點D坐標；
（2）拋物線對稱軸上使BM－AM的值最大時的點M即直線AB與拋物線對稱軸的交點，從而應用待定系數法求出直線AB的解析式，即可求得點M的坐標；
（3）用待定系數法求出直線CB的解析式，由點N在直線CB和拋物線y=x²﹣3x上，即可求出N點的坐標；
（4）應用對稱或旋轉的性質即可求得點P的坐標.
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4），
∴拋物線的解析式是y=x²﹣3x．∴D點的坐標為（2，﹣2）．
（2）設直線AB解析式為：y="kx+m,"    將 A（3，0）、B（4，4）代人得
，解得. ∴直線AB解析式為：.
∵拋物線對稱軸為，當時， ，
∴當點M（，）時，BM－AM的值最大.
（3）∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），
根據軸對稱性質得出∠CBO=∠ABO，∠COB=∠AOB，OB="OB," ∴△AOB≌△COB.
∴OC="OA." ∴點C（0，3）.
設直線CB的解析式為y=kx+3，過點（4，4），∴直線CB的解析式是.
∵點N在直線CB上，∴設點N（n，）.
又點N在拋物線y=x²﹣3x上，∴，解得：n₁=，n₂=4（不合題意，舍去）。
∴N點的坐標為（）．
（4）如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，則N₁（），B₁（4，﹣4），
∴O、D、B₁都在直線y=﹣x上．
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，∴△P₁OD∽△N₁OB₁. ∴.
∴點P₁的坐標為（）.
將△OP₁D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點P₂（）.
綜上所述，點P的坐標是（）或（）．