Question

如圖，直線y=

3

3

x+b經過點B（-

3

，2），且與x軸交于點A．將拋物線y=

1

3

x2沿x軸作左右平移，記平移后的拋物線為C，其頂點為P．
（1）求∠BAO的度數；
（2）直線AB交拋物線y=

1

3

x2的右側于點D，問點B是AD中點嗎？試說明理由；
（3）拋物線C與y軸交于點E，與直線AB交于兩點，其中一個交點為F．當線段EF∥x軸時，求平移后的拋物線C對應的函數關系式．

Answer 1

（1）設直線與y軸交于點M，
將x=-

3

，y=2代入y=

3

3

x+b得b=3，
∴y=

3

3

x+3，
當x=0時，y=3，當y=0時x=-3

3

∴A（-3

3

，0），M（0，3）；
∴OA=3

3

，OM=3，
∴tan∠BAO=

OM

OA

=

3

3

∴∠BAO=30°．

（2）聯立直線AB和拋物線的解析式，有：

y= 1 3 x2 y= 3 3 x+3

，解得：

x1= 3 + 39 2 y1= 7+ 13 2

、

x2= 3 - 39 2 y2= 7- 13 2

∴D（

3 + 39

2

，

7+ 13

2

）；
已知：A（-3

3

，0）、B（-

3

，2），顯然點B不是AD的中點．

（3）設拋物線C的解析式為y=

1

3

（x-t）²，則P（t，0），E（0，

1

3

t²），
∵EF∥x軸且F在拋物線C上，根據拋物線的對稱性可知F（2t，

1

3

t²），
把x=2t，y=

1

3

t²代入y=

3

3

x+3
得

2 3

3

t+3=

1

3

t²
解得t₁=-

3

，t₂=3

3

∴拋物線C的解析式為y=

1

3

（x+

3

）²或y=

1

3

（x-3

3

）²．