Question

【題目】綜合與探究

問題情境：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且AD＝AE，連接DE，易知BD＝CE．將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜360°），連接BD，CE，得到圖2．

（1）變式探究：如圖2，若0°＜α＜90°，則BD＝CE的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（2）拓展延伸：若圖1中的∠BAC＝120°，其余條件不變，請解答下列問題：

從A，B兩題中任選一題作答我選擇　 　題

A．①在圖1中，若AB＝10，求BC的長；

②如圖3，在△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)DE的延長線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，請直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系；

B．①在圖1中，試探究BC與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②在△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)D，E，C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請借助備用圖探究線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系，并直接寫出結(jié)果．

Answer 1

【答案】（1）結(jié)論：BD＝CE．理由見解析；（2）A：①BC＝10．②結(jié)論：CD＝AD+BD．理由見解析；B：①BC＝AB．②結(jié)論：CD＝AD+BD．理由見解析．

【解析】

（1）結(jié)論：BD＝CE．只要證明△DAB≌△EAC即可；

（2）A：①如圖1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形即可解決問題；

②結(jié)論：CD＝AD+BD．如圖3中，作AH⊥CD于H．由△DAB≌△EAC，推出BD＝CE，在Rt△ADH中，DH＝ADcos30°＝AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，可得CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD；

B：①如圖1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形可得：BC＝2BH＝AB；

②類似A②；

（1）結(jié)論：BD＝CE．

理由：如圖2中，

∵∠ABC＝∠DAE，

∴∠DAB＝∠EAC，

∵AD＝AE，AB＝AC，

∴△DAB≌△EAC，

∴BD＝EC．

（2）A：①如圖1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝HC，

∵∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∴BH＝ABcos30°＝5，

∴BC＝10．

②結(jié)論：CD＝AD+BD．

理由：如圖3中，作AH⊥CD于H．

∵△DAB≌△EAC，

∴BD＝CE，

在Rt△ADH中，DH＝ADcos30°＝AD，

∵AD＝AE，AH⊥DE，

∴DH＝HE，

∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．

B：①如圖1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝HC，

∵∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∴BH＝ABcos30°＝AB，

∴BC＝2BH＝AB．

②結(jié)論：CD＝AD+BD．

證明方法同A②．