Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中(如圖)，已知拋物線y＝﹣+bx+c(其中b、c是常數)經過點A(﹣2，﹣2)與點B(0，4)，頂點為M．

（1）求該拋物線的表達式與點M的坐標；

（2）平移這條拋物線，得到的新拋物線與y軸交于點C(點C在點B的下方)，且△BCM的面積為3．新拋物線的對稱軸l經過點A，直線l與x軸交于點D．

①求點A隨拋物線平移后的對應點坐標；

②點E、G在新拋物線上，且關于直線l對稱，如果正方形DEFG的頂點F在第二象限內，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；頂點M的坐標是：(2，6)；（2）①點A對應點的坐標為(﹣6，﹣5)；②F(﹣2，)．

【解析】

（1）根據拋物線y＝﹣+bx+c(其中b、c是常數)經過點A(﹣2，﹣2)與點B(0，4)，從而可以求得拋物線的解析式，然后將解析式化為頂點式，即可得到頂點M的坐標；

（2）①根據新拋物線的對稱軸l經過點A，可得新拋物線的頂點為(-2,k)，設平移后新拋物線的解析式為，可得C點坐標，由面積列方程求出k，從而可以得到點A隨拋物線平移后的對應點坐標；

②根據題意和正方形的性質，設F(﹣2，2a)、E(﹣2+a，a)．將E代入（2）的解析式中即可求出a，繼而解題．可以求得點F的坐標．

解：（1）將A(﹣2，﹣2)、B(0，4)代入中，

解得

∴該拋物線的表達式為：；

∵y＝x2+2x+4＝(x﹣2)2+6，

∴頂點M的坐標是：(2，6)；

（2）①∵平移后拋物線的對稱軸經過點A(﹣2，﹣2)，

∴可設平移后的拋物線表達式為：，

∴C(0，﹣2+k)．

∴，

解得，k＝3．

∴，

即原拋物線向左平移4個單位，向下平移3個單位可以得到新的拋物線．

∴點A對應點的坐標為(﹣6，﹣5)；

②設EG與DF的交點為H． 在正方形DEFG中，EG⊥DF，EG＝DF＝2EH＝2DH．

∵點E、G是這條拋物線上的一對對稱點，

∴EG∥x軸．

∴DF⊥x軸，

設F(﹣2，2a)．

∵點F在第二象限內，

∴a＞0．

∴EG＝DF＝2EH＝2DH＝2a．

不妨設點E在點G的右側，那么E(﹣2+a，a)．

將點E代入，得，

解得，，(不合題意，舍去)．

∴F(﹣2，)．