Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，6）．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O、動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0＜t≤5）．以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D，連接CD、QC．
（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？
（2）設(shè)△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（8，0），B（0，6），

∴OA=8，OB=6，

∴AB= = =10，

∴cos∠BAO= = ，sin∠BAO= = ．

∵AC為⊙P的直徑，

∴△ACD為直角三角形．

∴AD=ACcos∠BAO=2t× = t．

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，OQ+AD=OA，

即：t+ t=8，

解得：t= ．

∴t= （秒）時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合

（2）解：在Rt△ACD中，CD=ACsin∠BAO=2t× = t．

①當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，

DQ=OA﹣OQ﹣AD=8﹣t﹣ t=8﹣ t．

∴S= DQCD= （8﹣ t） t=﹣ t2+ t．

∵﹣ = ，0＜ ＜ ，

∴當(dāng)t= 時(shí)，S有最大值為 ；

②當(dāng) ＜t≤5時(shí)，

DQ=OQ+AD﹣OA=t+ t﹣8= t﹣8．

∴S= DQCD= （ t﹣8） t= t2﹣ t．

∵﹣ = ， ＜ ，所以S隨t的增大而增大，

∴當(dāng)t=5時(shí)，S有最大值為15＞ ．

綜上所述，S的最大值為15

（3）解：當(dāng)CQ與⊙P相切時(shí)，有CQ⊥AB，

∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，

∴△ACQ∽△AOB，

∴ = ，

即 = ，

解得t= ．

所以，⊙P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)，t的取值范圍為0＜t≤ 或 ＜t≤5

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根據(jù)點(diǎn)Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可；（2）利用∠BAO的正弦表示出CD的長，然后分點(diǎn)Q、D重合前與重合后兩種情況表示出QD，再利用三角形的面積公式列式整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；（3）有兩個(gè)時(shí)段內(nèi)⊙P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)：①運(yùn)動(dòng)開始至QC與⊙P相切時(shí)（0＜t≤ ）；②重合分離后至運(yùn)動(dòng)結(jié)束（ ＜t≤5）．