Question

【題目】已知：如圖1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足為E，點F是點E關于AB的對稱點，連接AF，BF．

（1）AE的長為 ，BE的長為 ；

（2）如圖2，將△ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′．

①在旋轉(zhuǎn)過程中，當A′F′與AE垂直于點H，如圖3，設BA′所在直線交AD于點M，請求出DM的長；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，設A′F′所在的直線與直線AD交于點P，與直線BD交于點Q，是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為以PQ為底的等腰三角形？請直接寫出DQ的長．

Answer 1

【答案】（1）4；3；（2）①；②DQ=3-，DQ=-，DQ=-5=

【解析】

試題分析：（1）由勾股定理求得BD的長，根據(jù)三角形面積公式求出AE的長，再應用勾股定理即可求得BE的長．

（2）①先用tan∠ADB=，設出MG，表示出DG，DM，求出BG=BD-DG=-4x，再用tan∠MBD=，建立方程求出x，即可；

②分DP=DQ（考慮點Q在線段BD的延長線和點Q在線段BD上兩種情況），PD=PQ兩種情況求解即可．

試題解析：（1）∵AB=5，AD=，

∴由勾股定理得BD=．

∵S△ABD=AB×AD=BD×AE，

∴×5×=××AE，

∴AE=4．

∴BE==3，

（2）①作MG⊥BD，A′N⊥BD，

∴tan∠ADB=，

設MG=3x，則DG=4x，DM=5x，

∴BG=BD-DG=-4x，

∵A′F′⊥AE，AE⊥BD，A′N⊥BD，A′F′⊥BF′，

∴四邊形BF′A′N是矩形，

∴A′N=BF′=3，BN=A′F′=AE=4，

∵tan∠MBD=，

∴，

∴x=，

∴DM=5x=；

②存在，理由如下：

Ⅰ、當DP=DQ時，若點Q在線段BD的延長線上時，如圖1，

有∠Q=∠1，則∠2=∠1+∠Q=2∠Q．

∵∠3=∠4+∠Q，∠3=∠2，

∴∠4+∠Q=2∠Q．

∴∠4=∠Q．

∴A′Q=A′B=5．

∴F′Q=A′F′+A′Q=4+5=9．

在Rt△BF′Q中，81+9=（+DQ）2

∴DQ=3-或DQ=-3-（舍去）．

若點Q在線段BD上時，如圖2，

有∠QPD=∠PQD=∠BQA′，

∵∠DPQ=∠BMQ，

∴∠BMQ=∠BQM．

∵∠BMQ=∠A′BM+∠A′，∠A′=∠CBD，

∴∠BMQ=∠A′BM+∠CBD=∠A′BQ．

∴∠BQM=∠∠A′BQ．

∴A′Q=A′B=5．

∴F′Q=A′Q-A′F′=5-4=1．

∴BQ==

∴DQ=BD-BQ=-

Ⅱ、當PD=PQ時，如圖4，

有∠ADB=∠DQP=∠BQA′，

∵∠ADB=∠A′，

∴∠BQA′=∠A′．

∴BQ=A′B=5．

∴DQ=BD-BQ=-5=

綜上所述，當△DPQ為等腰三角形時，DQ的長為DQ=3-，DQ=-，DQ=-5=