Question

【題目】如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A. D.E在同一直線上，連接BE.

填空：（1），①∠AEB的度數為 ；②線段AD、BE之間的數量關系是 ；

（2）拓展探究：如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，且交BC于點F，連接BE.若∠CAF=∠BAF，BE=2，試求AF的長.

Answer 1

【答案】（1）①60°；②AD=BE；（2）4.

【解析】

（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數；

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數，延長BE交AC的延長線于點G，推出△ACF≌△BCG，根據全等三角形的性質得到AF=BG，由于∠CAF=∠BAF，∠AEB=90°，求得E是BG的中點，即可求出AF=4.

(1)①如圖1，

∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.

∴∠ACD=∠BCE.

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS).

∴∠ADC=∠BEC.

∵△DCE為等邊三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°.

∵點A,D,E在同一直線上,

∴∠ADC=120°.

∴∠BEC=120°.

∴∠AEB=∠BEC∠CED=60°.

故答案為：60°.

②∵△ACD≌△BCE，

∴AD=BE.

故答案為：AD=BE；

(2)∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.

∴∠ACD=∠BCE.

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS).

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.

∵△DCE為等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°.

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=135°.

∴∠BEC=135°.

∴∠AEB=∠BEC∠CED=90°；

延長BE交AC的延長線于點G，

在△ACF和△BCG中,

，

∴△ACF≌△BCG，

∴AF=BG，

∵∠CAF=∠BAF,∠AEB=90°，

∴E是BG的中點，

∵BE=2，

∴AF=4.