Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A（8,0）動點P從A出發以每秒2個單位長度的速度沿線段AO向終點O運動，同時動點Q從O出發以相同速度沿y軸正半軸運動，點P到達點O，兩點同時停止運動.

（1）當t= 時，∠OPQ=45°；

（2）如圖2，以PQ為斜邊在第一象限作等腰Rt△PQM，求M點坐標；

（3）在（2）的條件下，點R位x軸負半軸上一點，且,點M關于PQ的對稱點為N，求t為何值時，△ONR為等腰直角三角形；

Answer 1

【答案】（1）t=2；（2）M(4,4)；（3）t為秒或秒時，△ONR為等腰直角三角形．

【解析】

（1）先由運動知，OP=8-2t，OQ=2t，根據等腰直角三角形的性質即可得結論；

（2）先判斷出△MCQ≌△MBP，得出CQ=BP，MC=MB，即可得出點M的縱橫坐標相等，用CQ=BP建立方程即可得出結論；

（3）利用等腰直角三角形和對稱性確定出點N的坐標，分三種情況討論計算即可得出結論．

(1)由運動知，AP=2t，OQ=2t，

∵A(8,0)，

∴OA=8，

∴0t<4，OP=82t，

在Rt△POQ中,∠OPQ=45°，

∴∠OQP=45°，

∴OP=OQ，

∴82t=2t，

∴t=2

(2)如圖2,

過點M作MB⊥x軸于B，作MC⊥y軸于C，

∴四邊形OBMC是矩形，

∴∠BMC=90°，

∵△PMQ是等腰直角三角形，

∴MQ=MP,∠PMQ=90°，

∴∠CMQ=∠BMP，

在△MCQ和△MBP中,

，

∴△MCQ≌△MBP，

∴CQ=BP.MC=MB，

∴設M(m,m)，

∴B(m,0),C(0,m)，

∵OQ=2t，OP=82t，

∴Q(0,2t),P(82t,0)，

∴CQ=|m2t|.BP=|82tm|，

∴|m2t|=|82tm|，

∴m=4，

∴M(4,4)，

(3)如圖,∵點M，N關于PQ對稱，

∴點G是MN的中點，MN⊥PQ于G，

∵△PMQ是等腰直角三角形，

∴QG=PG，

∴點G是PQ的中點，

由(2)知,Q(0,2t),P(82t,0)，

∴G(4t,t)，

∴點N(42t,2t4)，

∵點R為x軸負半軸上一點,且OR=OP

∴R(t4,0)，

∵△ONR為等腰直角三角形，

∴①、當∠ORN=90°，OR=RN時，

∴點N，R的橫坐標相等，

∴4-2t=t4，

∴t=，

②當∠RON=90°，ON=OR時，
∴點N在y軸上，
∴4-2t=0，4-t=2t-4
∴t=2，t=，此種情況不存在；

③當∠ONR=90°，ON=NR時，
∴點N在OR的垂直平分線上，且點N到OR的距離等于OR，
∴4-2t=（t-4+0）①，且|2t-4|=|4-t|②，
解①得，t= ，解②得，t=或t=，
∴t=，
即：t為秒或秒時，△ONR為等腰直角三角形．