Question

【題目】如圖，已知四邊形OABC是平行四邊形，點A（2，2）和點C（6，0），連結CA并延長交y軸于點D．

（1）求直線AC的函數解析式．
（2）若點P從點C出發以2個單位/秒沿x軸向左運動，同時點Q從點O出發以1個單位/秒沿x軸向右運動，過點P、Q分別作x軸垂線交直線CD和直線OA分別于點E、F，猜想四邊形EPQF的形狀（點P、Q重合除外），并證明你的結論．
（3）在（2）的條件下，當點P運動多少秒時，四邊形EPQF是正方形？

Answer 1

【答案】
（1）解：設直線AC的解析式為y=kx+b，

∵點A（2，2）和點C（6，0），

∴ ，

∴ ，

∴直線AC的解析式為y=﹣ x+3

（2）解：如圖1，

∵點A的坐標為（2，2），

∴直線OA的解析式為y=x，

∵點Q從點O出發以1個單位/秒沿x軸向右運動，

∴OQ=t，

∴F（t，t），

∴FQ=t，

∵點P從點C出發以2個單位/秒沿x軸向左運動，

∴CP=2t，

∴OP=6﹣2t，

由（1）知，直線AC的解析式為y=﹣ x+3，

∴E（6﹣2t，t），

∴PE=t，

∴PE=FQ，

∵FQ⊥x軸，PE⊥x軸，

∴∠PQF=90°，FQ∥PE，

∵PE=FQ，

∴四邊形PEFQ是平行四邊形，

∵∠PQF=90°，

∴平行四邊形PEFQ是矩形

（3）解：由（2）知，PC=2t，OQ=t，PE=t，

∴PQ=OC﹣OQ﹣CP=6﹣t﹣2t=6﹣3t，或PQ=OQ+CP﹣OC=3t﹣6，

∵四邊形PEFQ是正方形，

∴PQ=PE，

∴6﹣3t=t或3t﹣6=t，

∴t= 或t=3，即：點P運動 秒或3秒時，四邊形EPQF是正方形

【解析】（1）利用待定系數法即可求出直線AC的解析式；（2）先利用待定系數法求出直線OA的解析式，進而求出點E，F坐標，即可得出PE=FQ，即可得出結論；（3）先分兩種情況（點Q在點P左側或右側）求出PQ，利用PE=PQ建立方程即可求出時間．

【考點精析】關于本題考查的確定一次函數的表達式和正方形的判定方法，需要了解確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角才能得出正確答案．