Question

【題目】（1）正方形ABCD與等腰直角三角形PAQ如圖1所示重疊在一起，其中∠PAQ=90°，點Q在BC上，連接PD，△ADP與△ABQ全等嗎？請說明理由．

（2）如圖2，O為正方形ABCD對角線的交點，將一直角三角板FPQ的直角頂點F與點O重合轉動三角板使兩直角邊始終與BC、AB相交于點M、N，使探索OM與ON的數量關系，并說明理由．

（3）如圖3，將（2）中的“正方形”改成“長方形”，其它的條件不變，且AB=4，AD=6，FM=x，FN=y，試求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）△ADP≌△ABQ，理由見解析；

（2）AC⊥BD，理由見解析；

（3）y與x之間的函數關系式為： .

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質和等腰直角三角形的性質就可以求得△ADP與△ABQ全等；

（2）根據正方形的性質和等腰直角三角形的性質就可以得△ANO≌△BMO，從而得出ON=OM；

（3）過點O作OE⊥AB于E，OH⊥BC于H，由條件求出OE、OH的值，再通過證明△OEN∽△OHM，利用相似三角形的性質就可以求出結論．

試題解析：（1）△ADP≌△ABQ．

理由：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠ADP=∠BAD=90°

∵△PAQ是等腰直角三角形，

∴AQ=AP．

∵∠PAQ=90°，

∴∠BAD=∠PAQ，

∴∠BAD-∠QAD=∠PAQ-∠QAD，

∴∠BAQ=∠PAD．

∵在△ADP和△ABQ中，

∴△ADP≌△ABQ（ASA）；

（2）OM=ON．

理由：如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°．

∴∠AOB=∠POQ，

∴∠AOB-∠NOB=∠POQ-∠NOB，

∴∠AON=∠BOM

∵在△AON和△BOM中，

，

∴△AON≌△BOM（ASA）

∴OM=ON；

（3）如圖4，

過點O作OE⊥AB于E，OH⊥BC于H，

∴∠OEN=∠OHM=90°，OE=AD，OH=AB．

∵AB=4，AD=6，

∴OE=3，OH=2．

∵∠ABC=90°，

∴四邊形EBHO是矩形，

∴∠EOH=90°，

∴∠EOH=∠POQ，

∴∠EOH-∠EOM=∠POQ-∠EOM，

∴∠EON=∠HOM．

∴△OEN∽△OHM，

∴，

即

∴y= ．