Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長DE交BC的延長線于點F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）由平行線的性質、等腰三角形的性質推知∠OED=∠F，則易證得結論.
（2）由cosB＝，設BC=3x，AB=5x，根據OE∥BF，得∠AOE＝∠B，從而．因此列出關于半徑r的方程，通過解方程即可求得r的值，進而得到⊙O的半徑.
（1）如圖，連接OE,
∵AC與⊙O相切于點E，
∴OE⊥AC，即∠OEC＝90⁰.
∵∠ACB＝90⁰，∴∠OEC＝∠ACB．∴OE∥BC.
∴∠OED＝∠F.
∵OE=OD，∴∠OED＝∠ODE．∴∠F＝∠ODE.
∴BD=BF.

（2）∵cosB＝，∴設BC=3x，AB=5x.
∵CF=1，∴.
由（1）知，BD=BF，∴．∴.
∴,.
∵OE∥BF，∴∠AOE＝∠B。∴，即，解得，.
∴⊙O的半徑為.