Question

【題目】如圖，矩形的對角線，相交于點，關于的對稱圖形為．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）連接，交于點，連接，取的中點，連接．

①根據題意補全圖形；

②若＝，請用等式表示線段、、之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析，②＝，見解析

【解析】

（1）根據四邊相等的四邊形是菱形即可判斷．

（2）①根據要求圖形即可．

②線段、、之間的數量關系是：．取的中點，連接，，，首先證明四邊形是菱形，推出是的中位線，再根據勾股定理即可解決問題．

解：

（1）證明：∵ 四邊形是矩形，

∴ 與相等且互相平分，

∴ ＝，

∵ 關于的對稱圖形為，

∴ ＝，＝，

∴ ＝＝＝，

∴ 四邊形是菱形．

（2）①如圖．

②線段、、之間的數量關系是：＝．

證明：取的中點，連接，，，

∵ 四邊形是矩形∴ ＝

∵ ＝，

∴ ＝＝

∵ ＝，

∴ 是等邊三角形，

∴ ＝，

∵ 四邊形是菱形，

∴ ＝，＝＝，，

∴ 四邊形是菱形，

∴ ，

∴ ，即＝，

∵ 是的中位線，

∴ ，，

∴ ＝＝，

∵ 是的中點，

∴ ＝，

∴ ＝＝，

∴ ＝，

∴ ＝＝，

根據勾股定理得：＝，

即：＝，

∴ ＝．