Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，開口向上的拋物線與軸交于兩點， 為拋物線的頂點， 為坐標原點，過點作交拋物線于點. 若的長分別是方程的兩根，且

（1）求拋物線對應的二次函數解析式和點的坐標。

（2）若點M為x軸正半軸上一個動點，N為線段AC上的一個動點，連接MN、CM，是否存在這樣的點M，使△AMN為直角三角形和△CMN為等腰三角形同時成立，如果存在，請求出所有符合條件的點M的坐標，如果不存在，請說明理由。

（3如圖2，過點任作直線交線段于點求到直線的距離分別為，請直接寫出的最大值．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）；（2）M1（11-6，0），M2（5,0）；（3） 4.

【解析】試題分析：（1）通過解方程即可求得OA、OB的長，從而得到點A、B的坐標，由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，且∠DAB=45°，那么△DAB是等腰直角三角形，即可利用點A、B的坐標求得點D的坐標，然后根據待定系數法求得拋物線的解析式；由于AC⊥AD，且∠DAB=45°，則∠CAB=45°，作CH⊥x軸，設出點C的縱坐標，那么其橫坐標應為m-1，然后將C點坐標代入拋物線的解析式中，即可求得點C的坐標；

（2）分兩種情況：①∠AMN=90°②∠ANM=90°討論即可；

（3）易得AC、AD的長，由于△ACD是直角三角形，那么ACAD=APd1+APd2，由此可得d1+d2=，過A作AM⊥CD于M，利用△ACD的面積可求得AM的長，在Rt△APM中，AP≥AM，故d1+d2≤，而AC、AD、AM的長都已求得，由此可確定d1+d2的最大值．

試題解析：（1）解方程x2-4x+3=0得：x=1或x=3，而OA＜OB，

則點A地坐標為（—1,0），

點B地坐標為（3，0），

∵A、B關于拋物線對稱軸對稱，

∴△DAB是等腰三角形，而∠DAB=45°，

∴△DAB是等腰直角三角形，得D（1，-2），

令拋物線對應的二次函數解析式為y=a（x-1）2-2，

∵拋物線過點A，

∴0=4a-2，得a=，

故拋物線對應的二次函數解析式為y= (x-1)2-2（或寫成y=x2-x-,或y= (x+1)(x—3)）；

∵CA⊥AD，∠DAC=90°，又∵∠DAB=45°，

∴∠CAB=45°，

作CH⊥x軸，

則CH=AH，

設CH=AH=m，則OH=m-1，

∴C的坐標為（m-1，m），

代入拋物線解析式，解得：m1=6，m2=0（舍去）

故點C的坐標為（5，6）；

（2）由（1）得AC=6，

①若∠AMN=90°,

則∠MNC=135°，

故CN=MN，設MN=n，

則MN=CN=n，AN=n，

則n+n=6，n=12-6，

∴M1（11-6，0）.

②若∠ANM=90°，

則∠MNC=90°，

又MN=CN，則∠ACM=45°，∠AMC=90°，

∴AM=CM=6,

∴OM=5，

∴M2（5,0）；

（3）∵AC=6，而AD=2，

∴DC==4；

過A作AM⊥CD，

又∵AC×AD=DC×AM，

∴AM=，

又∵S△ADC=S△APD+S△APC

∴×AC×AD=AP×d1+AP×d2，

d1+d2==24×=4；

即此時d1+d2的最大值為4.