Question

【題目】如圖，已知：AD為△ABC的中線，過B、C兩點分別作AD所在直線的垂線段BE和CF，E、F為垂足，過點E作EG∥AB交BC于點H，連結HF并延長交AB于點P。

（1）求證：DE=DF

（2）若；①求：的值；②求證：四邊形HGAP為平行四邊形。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②見解析.

【解析】

（1）根據AD是△ABC的中線得到BD＝CD，根據對頂角相等得到∠FDC＝∠EDB，又因為∠DFC＝∠DEB＝90°，即可證得△BDE≌△CDF，繼而證出DE=DF；（2）設BH＝11x，HC＝5x，則BD＝CD＝BC＝8x，DH＝3x，HC＝5x，根據EH∥AB可得△EDH∽△ADB，再根據相似三角形對應邊成比例以及DE＝DF得到的值；②進一步求出的值，得到，再根據平行線分線段成比例定理證得FH∥AC ，即PH∥AC，再根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形這一定理即可證得四邊形HGAP為平行四邊形。

解：（1）∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，

∵∠FDC和∠EDB是對頂角，∴∠FDC＝∠EDB ，

又∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠DFC＝∠DEB＝90°，

∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE=DF.

（2）設則

① ∵EH∥AB

∴△EDH∽△ADB ∴∵

∴

②∵ ∴∵∴FH∥AC ∴PH∥AC

∵EG∥AB∴四邊形HGAP為平行四邊形