Question

【題目】如圖所示,AB＝6,AC＝3,∠BAC＝60°,為⊙O上的一段弧,且∠BOC＝60°,分別在、線段AB和AC上選取點P、E、F,則PE＋EF＋FP的最小值為__________

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AP、O、OA，分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關于AB的對稱點M，P關于AC的對稱點N，連接MN，交AB于點E，交AC于點F，連接PE、PF，所以

AM=AP=AN，設AP=r，則MN=，所以PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=，即當AP最小時，PE+EF+PF可取最小值，由AP+OP≥OA可知AP≥OA﹣OP，即點P在OA上時，AP可取得最小值，利用勾股定理即可求得AP的長度，即可解答.

連接BC，取AB的中點D，連接CD，如圖1

則AD=BD=3

∴AD=BD=AC

∵∠BOC＝60°

∴△ADC是等邊三角形

∴CD=AC=3

∴CD=AB

∴∠ACB=90°

連接AP、O、OA，分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關于AB的對稱點M，P關于AC的對稱點N，連接MN，交AB于點E，交AC于點F，連接PE、PF，

∴AM=AP=AN

∵∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC

∵∠BAC=∠PAB+∠PAC=∠MAB+∠NAC=60°

∴∠MAN=120°

∴M、P、N在以A為圓心AP為半徑的圓上

設AP=r，則MN=

∵PE=ME，PF=FN

∴PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=

∴當AP最小時，PE+EF+PF可取最小值

∵AP+OP≥OA

∴AP≥OA﹣OP，即點P在OA上時，AP可取得最小值

在Rt△ABC中，∵AB＝6,AC＝3,∠BAC＝60°

∴BC=

∵∠BOC=60°，OB=OC

∴△OBC是等邊三角形

∴OC=BC=，作OH⊥AC交AC的延長線于H

在Rt△OCH中，∵OC=，∠OCH=30°

∴OH=OC=，CH=OH=

在Rt△AOH中，AO=

此時AP=r=

∴PE+EF+PF的最小值為

故答案為：