Question

【題目】如圖1，△ABC為等邊三角形，點E、F分別在BC和AB上，且CE=BF，AE與CF相交于點H.

（1）求證：△ACE≌△CBF；

（2）求∠CHE的度數；

（3）如圖2，在圖1上以AC為邊長再作等邊△ACD，將HE延長至G使得HG=CH，連接HD與CG，求證：HD=AH+CH

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）60°；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得：∠B=∠ACB=60°，BC=CA，然后利用“邊角邊”證明：△ACE和△CBF全等；
（2）根據全等三角形對應角相等可得：∠EAC=∠BCF，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式整理得到∠CHE=∠BAC；
（3）如圖2，先說明△CHG是等邊三角形，再證明△DCH≌△ACG，可得DH=AG=AH+HG=AH+CH．

解：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，BC=CA，
即∠B=∠ACE=60°，
在△ACE和△CBF中，

∴△ACE≌△CBF（SAS）；

（2）解：由（1）知：△ACE≌△CBF，
∴∠EAC=∠BCF，
∴∠CHE=∠EAC+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠ACB=60°；
（3）如圖2，由（2）知：∠CHE=60°，
∵HG=CH，
∴△CHG是等邊三角形，
∴CG=CH=HG，∠G=60°，
∵△ACD是等邊三角形，
∴AC=CD，∠ACD=60°，
∵△ACE≌△CBF，
∴∠AEC=∠BFC，
∵∠BFC=∠BAC+∠ACF=60°+∠ACF，
∠AEC=∠G+∠BCG=60°+∠BCG，
∴∠ACF=∠BCG，
∴∠ACF+∠ACD=∠BCG+∠ACB，
即∠DCH=∠ACG，
∴△DCH≌△ACG，
∴DH=AG=AH+HG=AH+CH．