Question

【題目】利川市南門大橋是上世紀90年代修建的一座石拱橋，其主橋孔的橫截面是一條拋物線的一部分，2019年在維修時，施工隊測得主橋孔最高點到水平線的高度為.寬度為.如圖所示，現以點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系.

（1）直接寫出點及拋物線頂點的坐標；

（2）求出這條拋物線的函數解析式；

（3）施工隊計劃在主橋孔內搭建矩形“腳手架”，使點在拋物線上，點在水平線上，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根鋼管的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）三根鋼管的長度之和的最大值是.

【解析】

（1）根據題意，即可寫出點及拋物線頂點的坐標；

（2）拋物線過原點，故設拋物線為，將M和P的坐標代入即可求出拋物線的解析式；

（3）設，分別用含x的式子表示出的長度，設“腳手架”三根鋼管的長度之和為，即可求出與x的函數關系式，最后利用二次函數求最值即可．

解：（1）由題意可知：拋物線頂點；

（2）拋物線過原點，故設拋物線為，

由在拋物線上有

，解得，

所以拋物線的函數解析式為，由圖象可知；

（3）設，

根據點A在拋物線上和矩形的性質可得

，

∵點A和點D關于拋物線的對稱軸對稱

∴點D的坐標為（60－x，y）

∴

設“腳手架”三根鋼管的長度之和為，則

，

即

當時，，

所以，三根鋼管的長度之和的最大值是．