Question

根據下列條件，求二次函數的解析式
（1）圖象經過點（-1，3），（1，3），（2，6）；
（2）拋物線頂點坐標為（-1，9），并且與y軸交于（0，-8）；
（3）拋物線的對稱軸是直線x=1，與x軸的一個交點為（-2，0），與y軸交于點（0，12）；
（4）圖象頂點坐標是（2，-5），且過原點；
（5）圖象與x軸的交點坐標是（-1，0），（-3，0）且函數有最小值-5；
（6）當x=2時，函數的最大值是1，且圖象與x軸兩個交點之間的距離為2．

Answer 1

分析：（1）設y=ax²+bx+c；（2）、（4）設y=a（x+1）²+9；（3）、（5）、（6）設y=a（x-x₁）（x-x₂）．然后把已知點的坐標代入解方程，求出未知系數，最后確定解析式．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
把（-1，3），（1，3），（2，6）代入解析式得，
3=a-b+c①，
3=a+b+c②，
6=4a+2b+c③，
解由①②③組成的方程組得，a=1，b=0，c=2．
所以二次函數的解析式為y=x²+2．
（2）設y=a（x+1）²+9，
把（0，-8）代入解析式得，a=-17，
∴y=-17（x+1）²+9=-17x²-34x-8，
所以二次函數的解析式為y=-17x²-34x-8．
（3）∵對稱軸是直線x=1，與x軸的一個交點為（-2，0），
∴與x軸的另一個交點為（4，0），
設y=a（x+2）（x-4），
把（0，12）代入解析式得，a=-

3

2

，
∴y=-

3

2

（x+2）（x-4）=-

3

2

x²+3x+12，
所以二次函數的解析式為y=-

3

2

x²+3x+12．
（4）設y=a（x-2）²-5，
把（0，0）代入解析式得，a=

5

4

，
∴y=

5

4

（x-2）²-5=

5

4

x²-5x，
所以二次函數的解析式為y=

5

4

x²-5x．
（5）設y=a（x+1）（x+3），
根據題意可得對稱軸為直線x=-2，又函數有最小值-5，
∴頂點坐標為（-2，-5），代入解析式得，a=-5．
∴y=-5（x+1）（x+3）=-5x²-20x-15，
所以二次函數的解析式為y=-5x²-20x-15．
（6）∵當x=2時，函數的最大值是1，即頂點坐標為（2，1），
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，而圖象與x軸兩個交點之間的距離為2，則交點坐標分別為（1，0），（3，0），
設y=a（x-1）（x-3），
把（2，1）代入解析式得，a=-1，
∴y=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3，
所以二次函數的解析式為y=-x²+4x-3．

點評：本題考查了用待定系數法確定二次函數的解析式和二次函數的性質．二次函數的一般式為y=ax²+bx+c；頂點式為y=a（x-k）²+h，其中（k，h）為頂點坐標；交點式為y=a（x-x₁）（x-x₂），其中x₁，x₂是拋物線與x軸交點的橫坐標，能根據條件合理選擇解析式．