Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6．邊長為4的等邊△DEF沿射線AC運動（A、D、E、C四點共線）.當等邊△DEF的邊DF、EF與Rt△ABC的邊AB分別相交于點M、N（M、N不與A、B重合）時，

設AD=x．

（1）則△FMN的形狀是 _______ ,△ADM的形狀是 _______；

（2）△ABC與△DEF重疊部分的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出的取值范圍；

（3）若以點M為圓心，MN為半徑的圓與邊AC、EF同時相切，求此時MN的長．

Answer 1

【答案】（1）直角三角形 等腰三角形；（2）；（3）

【解析】

（1）直角三角形、等腰三角形

（2）∵△ADＭ是等腰三角形，
∴DM=AD=x ， FM=4-x.
又∵∠FED=60°，∠A=30°， ∴∠FNM=90°
∴MN=MF·SinF=，FN=MF=（4-x）

當0<x≤2時，

當2≤x<4時， CE=AE―AC=4+x-6=x-2
∵∠BCE=90°，∠PEA=60°，
∴PC=
∴
∴ =S△DEF―S△FMN―S△PCE=

（3）過點M作MG⊥AC于點G，由（2）得DM=x
∵∠MDG=60°， ∴MG=
∵∠MNF=90°，∠MFN=60°，∴MN=

要使以點M為圓心，MN長為半徑的圓與邊AC、EF相切，則有MG=MN，
即：解得x=2，
圓的半徑MN=