Question

【題目】如圖，頂點為(，－)的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點M(2，0)．

(1)求拋線的表達式；

(2)點A是拋物線與x軸的交點(不與點M重合)，點B是拋物線與y軸的交點，點C是直線y＝x＋1上一點(處于x軸下方)，點D是反比例函數y＝(k＞0)圖象上一點，若以點A，B，C，D為頂點的四邊形是菱形，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝(x－)2－（2）或

【解析】

（1）依題意可設拋物線方程為頂點式（a≠0），將點M（2，0）代入可得：，解得a=1．故拋物線的解析式為：；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為：．

則對稱軸為x=，∴點A與點M（2，0）關于直線x=對稱，∴A（-1，0）．

令x=0，則y=﹣2，∴B（0，﹣2）．

在直角△OAB中，OA=1，OB=2，則AB=．

設直線y=x+1與y軸交于點G，易求G（0，1），∴直角△AOG是等腰直角三角形，∴∠AGO=45°．

∵點C是直線y=x+1上一點（處于x軸下方），而k＞0，所以反比例函數（k＞0）圖象位于點一、三象限．

故點D只能在第一、三象限，因此符合條件的菱形只能有如下2種情況：

①此菱形以AB為邊且AC也為邊，如圖1所示，過點D作DN⊥y軸于點N，在直角△BDN中，∵∠DBN=∠AGO=45°，∴DN=BN=，∴D（﹣，﹣﹣2），∵點D在反比例函數（k＞0）圖象上，∴k=﹣×（﹣﹣2）=；

②此菱形以AB為對角線，如圖2，作AB的垂直平分線CD交直線y=x+1于點C，交反比例函數（k＞0）的圖象于點D．

再分別過點D、B作DE⊥x軸于點F，BE⊥y軸，DE與BE相較于點E．

在直角△BDE中，同①可證∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°，∴BE=DE．

可設點D的坐標為（x，x﹣2）．

∵BE2+DE2=BD2，∴BD=BE=x．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=BD=x，∴在直角△ADF中，AD2=AF2+DF2，即（x）2=（x+1）2+（x﹣2）2，解得x=，∴點D的坐標是（，）．

∵點D在反比例函數（k＞0）圖象上，∴k=×=．

綜上所述，k的值是或．