Question

某商家獨家銷售具有地方特色的某種商品，每件進價為40元．經過市場調查，一周的銷售量y件與銷售單價x（x≥50）元/件的關系如下表：

銷售單價x（元/件）	…	55	60	70	75	…
一周的銷售量y（件）	…	450	400	300	250	…

（1）直接寫出y與x的函數關系式：　 　.　
（2）設一周的銷售利潤為S元，請求出S與x的函數關系式，并確定當銷售單價在什么范圍內變化時，一周的銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大？
（3）雅安地震牽動億萬人民的心，商家決定將商品一周的銷售利潤全部寄往災區，在商家購進該商品的貸款不超過10000元情況下，請你求出該商家最大捐款數額是多少元？

Answer 1

解：（1）y與x的函數關系式為：y=﹣10x+1000。
（2）由題意得，S=（x﹣40）y=（x﹣40）（﹣10x+1000）=﹣10x²+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）²+9000。
∵﹣10＜0，∴函數圖象開口向下，對稱軸為x=70。
∴當40≤x≤70時，銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大。
（3）當購進該商品的貸款為10000元時，y=10000÷40=250（件），此時x=75。
由（2）得當x≥70時，S隨x的增大而減小，
∴當x=70時，銷售利潤最大，此時S=9000。
∴該商家最大捐款數額是9000元。

解析試題分析：（1）設y=kx+b，把點的坐標代入解析式，求出k、b的值，即可得出函數解析式：
設y=kx+b，由題意得，，解得：。
∴y與x的函數關系式為：y=﹣10x+1000。
（2）根據利潤=（售價﹣進價）×銷售量，列出函數關系式，繼而確定銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大的銷售單價的范圍。
（3）根據購進該商品的貸款不超過10000元，求出進貨量，然后求最大銷售額即可。