Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的開口向下，與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0）．與y軸交于點C，頂點為D．

（1）求頂點D的坐標．（用含a的代數式表示）；
（2）若△ACD的面積為3．
①求拋物線的解析式；
②將拋物線向右平移，使得平移后的拋物線與原拋物線交于點P，且∠PAB=∠DAC，求平移后拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），
∴拋物線解析式為y=a（x+3）（x﹣1）=ax²+2ax﹣3a。
∵y= ax²+2ax﹣3a =a（x²+2x﹣3）=a（x+1）²﹣4a，
∴頂點D的坐標為（﹣1，﹣4a）。
（2）①如圖1，設AC與拋物線對稱軸的交點為E，

∵拋物線y=ax²+2ax﹣3a與y軸交于點C，
∴C點坐標為（0，﹣3a）。
設直線AC的解析式為：y=kx+t，
則：，解得：。
∴直線AC的解析式為：y=﹣ax﹣3a。
∴點E的坐標為：（﹣1，﹣2a）。∴DE=﹣4a﹣（﹣2a）=﹣2a。
∴。
∴﹣3a=3，解得a=﹣1。
∴拋物線的解析式為y=﹣x²﹣2x+3。
②∵y=﹣x²﹣2x+3，∴頂點D的坐標為（﹣1，4），C（0，3）。
∵A（﹣3，0），
∴AD²=（﹣1+3）²+（4﹣0）²=20，CD²=（﹣1﹣0）²+（4﹣3）²=2，
AC²=（0+3）²+（3﹣0）²=18。
∴AD²=CD²+AC²。∴∠ACD=90°。
∴。
∵∠PAB=∠DAC，∴tan∠PAB=tan∠DAC=。
如圖2，設y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4向右平移后的拋物線解析式為y=﹣（x+m）²+4，兩條拋物線交于點P，直線AP與y軸交于點F，
∵，
∴OF=1，則F點的坐標為（0，1）或（0，﹣1）。
分兩種情況：
（Ⅰ）如圖2①，當F點的坐標為（0，1）時，易求直線AF的解析式為，

由解得，，（舍去）。
∴P點坐標為（，）。
將P點坐標（，）代入y=﹣（x+m）²+4，
得=﹣（+m）²+4，解得m₁=，m₂=1（舍去）。
∴平移后拋物線的解析式為y=﹣（x）²+4。
（Ⅱ）如圖2②，當F點的坐標為（0，﹣1）時，易求直線AF的解析式為。

由解得，
，（舍去）。
∴P點坐標為（，）。
將P點坐標（，）代入y=﹣（x+m）²+4，
得=﹣（+m）²+4，解得m₁=，m₂=1（舍去）。
∴平移后拋物線的解析式為y=﹣（x）²+4。
綜上可知，平移后拋物線的解析式為y=﹣（x）²+4或y=﹣（x）²+4。

解析試題分析：（1）已知拋物線與x軸的兩交點的橫坐標分別是﹣3和1，設拋物線解析式的交點式y=a（x+3）（x﹣1），再配方為頂點式，可確定頂點坐標。
（2）①設AC與拋物線對稱軸的交點為E，先運用待定系數法求出直線AC的解析式，求出點E的坐標，即可得到DE的長，然后由S_△ACD=×DE×OA列出方程，解方程求出a的值，即可確定拋物線的解析式。
②先運用勾股定理的逆定理判斷出在△ACD中∠ACD=90°，利用三角函數求出tan∠DAC=。設拋物線向右平移后的拋物線解析式為y=﹣（x+m）²+4，兩條拋物線交于點P，直線AP與y軸交于點F．根據正切函數的定義求出OF=1。分兩種情況進行討論：（Ⅰ）如圖2①，F點的坐標為（0，1），（Ⅱ）如圖2②，F點的坐標為（0，﹣1）．針對這兩種情況，都可以先求出點P的坐標，再得出m的值，進而求出平移后拋物線的解析式。