【題目】如圖，從地面上的點A看一山坡上的電線桿PQ，測得桿頂端點P的仰角是45°，向前走9m到達B點，測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度數；
（2）求該電線桿PQ的高度．（結果保留根號）
【答案】
（1）解：延長PQ交直線AB于點E，如圖所示：
∠BPQ=90°﹣60°=30°；
（2）解：設PE=x米．
在Rt△APE中，∠A=45°，
則AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°，
∴∠BPE=30°，
在Rt△BPE中，BE= 
PE= x米，
∵AB=AE﹣BE=9米，
則x﹣ x=9，
解得：x= 
．
則BE= 
米．
在直角△BEQ中，QE= BE= 
米．
∴PQ=PE﹣QE= ﹣ =9+3 
（米）．
答：電線桿PQ的高度為（9+3 ）米．
【解析】（1）延長PQ交直線AB于點E，根據直角三角形兩銳角互余求得即可。
（2）設PE=x米，在Rt△APE和Rt△BPE中，根據三角函數利用x表示出AE和BE，根據AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在Rt△BQE中利用解直角三角形求得QE的長，即可求出PQ的長度。
【考點精析】本題主要考查了特殊角的三角函數值和解直角三角形的相關知識點，需要掌握分母口訣：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，分子口訣：“123，321，三九二十七”；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能正確解答此題．
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【題目】初202l屆數學組的老師們為了拍攝《燃燒我的數學》的MTV，從全年級選了m人（m＞200）進行隊列變換，現把m人排成一個10排的矩形隊列，每排人數相等，然后把這個矩形隊列平均分成A、B兩個隊列，如果從A隊列中抽調36人到B隊列，這樣A、B隊列都可以形成一個正方形隊列，則m的值為______．
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【題目】觀察下列式子的因式分解做法：
①x2-1=(x-1)(x+1)；
②x3﹣1
=x3﹣x+x﹣1
=x（x2﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x+1）+1]
=（x﹣1）（x2+x+1）；
③x4﹣1
=x4﹣x+x﹣1
=x（x3﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
…
（1）模仿以上做法，嘗試對x5﹣1進行因式分解；
（2）觀察以上結果，猜想xn﹣1= ；（n為正整數，直接寫結果，不用驗證）
（3）根據以上結論，試求45+44+43+42+4+1的值．
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【題目】圖1、圖2、是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點.請在圖1、圖2、中分別畫出符合要求的圖形.要求：所畫圖形各頂點必須與方格紙中的格點重合.
（1）在圖1中畫一周長為
的等腰直角三角形；
（2）在圖2中畫一個面積為10，腰為5的等腰三角形；
（3）直接寫出（2）中所畫等腰三角形的周長.
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【題目】由于新冠肺炎病毒肆虐全球，市面上 KN95 等防護型口罩出現熱銷．武漢市某學校準備購進一批口罩，已知 3 個 A 型口罩和 2 個 B 型口罩共需 95 元；10 個 A 型口罩和 5 個 B 型口罩共需 250 元．
(1)求一個 A 型口罩和一個 B 型口罩的售價各是多少元；
(2)學校準備購進這兩種型號的口罩共 500 個，正好趕上藥店對口罩價格進行調整，其中 A 型口罩售價比原價提高 7 元，B 型口罩按原價九五折出售，若學校此次購買兩種口罩的總費用不超過 10000 元，且保證購買的 B 型口罩數量不少于135 個，請設計出最省錢的購買方案，并給出最低費用．
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【題目】如圖1，等腰
中，
，
為
中點，連接
，
（1）求證：是等邊三角形
（2）如圖2，在內有一點，連接、
、
，若
，求
的度數
（3）如圖3，在（2）的條件下，在外有一點
，連接
、
、若
，
，
，求線段的長.
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【題目】完成下面的證明．（在括號中注明理由）
已知：如圖，BE∥CD，∠A＝∠1，
求證：∠C＝∠E．
證明：∵BE∥CD，（已知）
∴∠2＝∠C，（ ）
又∵∠A＝∠1，（已知）
∴AC∥ ，（ ）
∴∠2＝ ，（ ）
∴∠C＝∠E（等量代換）
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【題目】某超市舉行店慶活動，對甲、乙兩種商品實行打折銷售，打折前，購買2件甲商品和3件乙商品需要180元；購買1件甲商品和4件乙商品需要200元，而店慶期間，購買10件甲商品和10件乙商品僅需520元，這比打折前少花多少錢？
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【題目】如圖所示,MN,EF是兩面互相平行的鏡面,根據鏡面反射規律,若一束光線AB照射到鏡面MN上,反射光線為BC,則一定有∠1=∠2.試根據這一規律:
(1)利用直尺和量角器作出光線BC經鏡面EF反射后的反射光線CD;
(2)試判斷AB與CD的位置關系,并說明理由.
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