Question

【題目】已知四邊形ABCD中，EF分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．

（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求證：DE=CF；

（2）如圖2，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：；

（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，當∠B=∠EGF時，第（2）問的結論是否成立？若成立給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當∠B=∠EGF時，成立，證明見解析.

【解析】

（1）由四邊形ABCD為正方形，利用正方形的性質得到一對角為直角，相等，且AD=DC，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用AAS得到三角形ADE與三角形DCF全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證；

（2）由四邊形ABCD為矩形，得到一對直角相等，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ADE與三角形DCF相似，利用相似三角形對應邊成比例即可得證；

（3）當∠B=∠EGF時，成立，理由為：如圖3，在AD的延長線上取點M，使CM=CF，利用平行線的性質，以及同角的補角相等得到三角形ADE與三角形DCM相似，利用相似三角形對應邊成比例即可得證．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ADC=90°，AD=DC，

∴∠ADE+∠AED=90°，

∵DE⊥CF，

∴∠ADE+∠CFD=90°，

∴∠AED=∠CFD，

∴△ADE≌△DCF，

∴DE=CF

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∵DE⊥CF，

∴∠ADE+∠CFD=90°，∠DCF+∠CFD=90°，

∴∠ADE=∠DCF，

∴△ADE∽△DCF，

∴

（3）解：當∠B=∠EGF時， 成立，

證明：如圖3，在AD的延長線上取點M，使CM=CF，

則∠CMF=∠CFM，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠CDM，

∵AD∥BC，

∴∠B+∠A=180°，

∵∠B=∠EGF，

∴∠EGF+∠A=180°，

∴∠AED=∠CFM=∠CMF，

∴△ADE∽△DCM，

∴ ，即 .