Question

矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A(6，0)、C(0，3)，直線與BC邊相交于點D.

（1）求點D的坐標；
（2）若拋物線經過A、D兩點，試確定此拋物線的解析式；
（3）設（2）中的拋物線的對稱軸與直線AD交于點M，點P為對稱軸上一動點，以P、A、M為頂點的三角形與△ABD相似，求符合條件的所有點P的坐標.

Answer 1

(1)點D的坐標為(2,3);
(2) 拋物線的解析式為;
(3) 符合條件的點P有兩個，P₁ (3，0)、P₂ (3，-4).

試題分析：（1）有題目所給信息可以知道，BC線上所有的點的縱坐標都是3，又有D在直線上，代入后求解可以得出答案．
（2）A、D，兩點坐標已知，把它們代入二次函數解析式中，得出兩個二元一次方程，聯立求解可以得出答案．
（3）由題目分析可以知道∠B=90°，以P、A、M為頂點的三角形與△ABD相似，所以應有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明顯∠AMP不可能等于90°，所以有兩種情況．
解：(1) ∵四邊形OABC為矩形，C(0,3)
∴BC∥OA，點D的縱坐標為3.
∵直線與BC邊相交于點D，
∴. ∴點D的坐標為(2,3).
(2) ∵若拋物線經過A(6,0)、D(2,3)兩點，
∴
解得：∴拋物線的解析式為
(3) ∵拋物線的對稱軸為x=3，
設對稱軸x=3與x軸交于點P₁，∴BA∥MP₁，
∴∠BAD=∠AMP₁.

①∵∠AP₁M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△AMP₁.
∴P₁ (3，0).
②當∠MAP₂=∠ABD=90°時，△ABD∽△MAP_2.
∴∠AP₂M=∠ADB
∵AP₁=AB，∠AP₁ P₂=∠ABD=90°
∴△AP₁ P₂≌△ABD
∴P₁ P₂=BD=4
∵點P₂在第四象限，∴P₂ (3，-4). 
∴符合條件的點P有兩個，P₁ (3，0)、P₂ (3，-4).