Question

以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸于點(diǎn)A，B.

（1）如圖一，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A處出發(fā)，沿x軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B處出發(fā)，沿圓周按順時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng).若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度比點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度慢，經(jīng)過(guò)1秒后點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2,0)，此時(shí)PQ恰好是的切線，連接OQ.求的大小；
（2）若點(diǎn)Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停留在點(diǎn)(2,0)處不動(dòng)，求點(diǎn)Q再經(jīng)過(guò)5秒后直線PQ被截得的弦長(zhǎng).

Answer 1

（1）60°（2）

（1）解：如圖一，連結(jié)AQ．
由題意可知：OQ=OA=1.
∵OP=2,
∴A為OP的中點(diǎn).
∵PQ與相切于點(diǎn)Q,
∴為直角三角形.              
∴ .         
即ΔOAQ為等邊三角形.
∴∠QOP=60°．                    
（2）解：由（1）可知點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為30°，若Q按照（1）中的方向和速度
繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，那么再過(guò)5秒，則Q點(diǎn)落在與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)處（如圖二）.
設(shè)直線PQ與的另外一個(gè)交點(diǎn)為D，過(guò)O作OC⊥QD于點(diǎn)C，則C為QD的中點(diǎn).
∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,
∴QP=.               
∵,
∴OC= .                        
∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,
∴QC=.
∴QD=．
（1）利用切線性質(zhì)定理，以及OQ與OP之間的關(guān)系，可得出∠QOP的度數(shù)
（2）關(guān)鍵是求出Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，利用垂徑定理，勾股定理可以解決．