Question

【題目】類比特殊四邊形的學習，我們可以定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．
（1）【探索體驗】如圖1，已知在四邊形ABCD中，∠A=40°，∠B=100°，∠C=120°．求證：四邊形ABCD是“等對角四邊形”．

（2）如圖2，若AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，那么四邊形ABCD是“等對角四邊形”嗎？試說明理由．

（3）【嘗試應用】如圖3，在邊長為6的正方形木板ABEF上裁出“等對角四邊形”ABCD，若已經確定DA=4m，∠DAB=60°，是否在正方形ABEF內（包括邊上）存在一點C，使四邊形ABCD以∠DAB=∠BCD為等對角的四邊形的面積最大？若存在，試求出四邊形ABCD的最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在四邊形ABCD中，∠A=40°，∠B=100°，∠C=120°．

∴∠D=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C=100°，∠A≠∠C，

∴∠D=∠D，

∴四邊形ABCD是“等對角四邊形”

（2）證明：如圖2，連接BD，

∵AB=AD，CB=CD，

∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，

∴∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，

∴∠ABC=∠ADC，

∵AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，且BD=BD，

∴△ABD與△CBD不相似，

∴∠A≠∠C，

∴四邊形ABCD是“等對角四邊形”

（3）如圖3，連接BD，

當∠DAB=∠BCD=60°時，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，

此時點C在BD為弦的 上，

要使四邊形ABCD的面積最大，則點C在邊BE上，

過點D作DH⊥AB于點H，作DM⊥BC于點M，

在Rt△ADH中，∠DAH=60°，AD=4，

∴AH=2，DH=2 ，

∴BH=AB﹣AH=4，

∵四邊形DHBM是矩形，

∴BM=DH=2 ，DM=BH=4，

在Rt△DMC中，∠DCM=60°，

∴CM= DM= ，

∴BC=BM+CM=2 + = ，

∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD= ×6×2 + × ×4= （m2）

【解析】（1）求出第4個角度數，按照定義即可判斷出結論；（2）利用等邊對等角定理，須連接BD，得出有一組對角相等，再證另一組對角不等，得出結論;（3）借鑒（2）的方法，要使∠BCD=60°，C需在以BD為弦的弧BD上，若四邊形ABCD的面積最大，則點C在邊BE上，才能使高最大，進而面積最大.
【考點精析】掌握三角形的面積和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道三角形的面積=1/2×底×高；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．