Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過點B(4，0)，C(0，﹣2)，對稱軸為直線x＝1，與x軸的另一個交點為點A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M從點A出發，沿AC向點C運動，速度為1個單位長度/秒，同時點N從點B出發，沿BA向點A運動，速度為2個單位長度/秒，當點M、N有一點到達終點時，運動停止，連接MN，設運動時間為t秒，當t為何值時，AMN的面積S最大，并求出S的最大值；

（3）點P在x軸上，點Q在拋物線上，是否存在點P、Q，使得以點P、Q、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫出所有符合條件的點P坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，S最大值為；（3）存在，P1(﹣3+，0)，P2(﹣3﹣，0)，P3(6，0)，P4(2，0)

【解析】

（1）利用待定系數法確定函數解析式；

（2）由拋物線的對稱性質求得A（-2，0），則AB=6；當點N運動t秒時，BN=2t，則AN=6-2t，過點M作MD⊥x軸于點D，構造直角三角形，由三角形的面積公式列出函數關系式，利用配方法求得最大值；

（3）需要分三種情況討論，用平移的知識先求出點Q的橫坐標，然后推出點P的坐標．

（1）依題意，將B（4，0），C（0，﹣2），對稱軸為直線x＝1，代入拋物線解析式，

得，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）∵對稱軸為直線x＝1，B（4，0）．

∴A（﹣2，0），則AB＝6，

當點N運動t秒時，BN＝2t，則AN＝6﹣2t，

如圖1，過點M作MD⊥x軸于點D．

∵OA＝OC＝2，

∴△OAC是等腰直角三角形，

∴∠OAC＝45°．

又∵DM⊥OA，

∴△DAM是等腰直角三角形，AD＝DM，

當點M運動t秒時，AM＝t，

∴MD2+AD2＝AM2＝t2，

∴DM＝，

∴，

∵，

∴由二次函數的圖象及性質可知，當時，S最大值為；

（3）存在，理由如下：

①當四邊形CBQP為平行四邊形時，CB與PQ平行且相等，

∵B（4，0），C（0，﹣2），

∴yB﹣yC＝yQ﹣yP＝2，xB﹣xC＝xQ﹣xP＝4，

∵yP＝0，

∴yQ＝2，

將y＝2代入，

得 x1＝，x2＝，

∴當xQ＝時，xP＝；當xQ＝時，xP＝，

∴P1（，0），P2（，0）；

②當四邊形CQPB為平行四邊形時，BP與CQ平行且相等，

∵yP＝yB＝0，

∴yQ＝yC＝﹣2，

將y＝﹣2代入，

得 x1＝0（舍去），x2＝2，

∴xQ＝2時，

∴xP﹣xB＝xQ﹣xC＝2，

∴xP＝6，

∴P3（6，0）；

③當四邊形CQBP為平行四邊形時，BP與CQ平行且相等，

由②知，xQ＝2，

∴xB﹣xP＝xQ﹣xC＝2，

∴xP＝2，

∴P4（2，0）；

綜上所述，存在滿足條件的點P有4個，分別是P1（﹣3+，0），P2（﹣3﹣，0），P3（6，0），P4（2，0）．