Question

【題目】如圖，和是有公共頂點的直角三角形，，點為射線，的交點．

（1）如圖1，若和是等腰三角形，求證：；

（2）如圖2，若，問：（1）中的結論是否成立？請說明理．

（3）在（1）的條件下，，，若把繞點旋轉，當時，請直接寫出的長度．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（1）中結論成立，詳見解析；（3）或

【解析】

（1）利用SAS證，可得出；

（2）根據直角三角形邊的關系，可得，從而證，最終得出角度關系；

（3）存在2種情況，一種是點E在線段AB上，另一種是點E在AB的反向延長線上，分別利用相似的關系推導可得．

（1）和是等腰直角三角形，，

，，．

．

．

（2）（1）中結論成立，理由：

在中，，

，

在中，，

，

．

，

，

．

．

（3）情況一：如下圖，點E在線段AB上

由第（1）問可得：△BAD≌△CAE

∴∠ABD=∠ACE

∵∠ADB=∠PDC

∴△ABD∽△PCD

∴

∵AB=AC=6，AD=AE=4,

∴DC=10

∴在Rt△BAD中，DB=

∴DP=

∴PB=

情況二：如下圖，點E在BA的延長線上

同理可證：△AEC∽△PEB

∴

∵AB=AC=6，AD=AE=4,

∴EB=10

∴在Rt△AEC中，EC=

∴BP=

∴綜上得：的長為或