Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+a（a＞0）分別與x 軸、y 軸交于A、B 兩點，C、D 的坐標分別為 C（0，b）、D（2a，b﹣a）（b＞a）．

（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；

（2）若點C、D關于直線AB的對稱點分別為C′、D′．

①當b=3時，試問：是否存在滿足條件的a，使得△BC′D′面積為？

②當點C′恰好落在x軸上時，試求a 與b的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABCD是平行四邊形，理由見解析；（2）①不存在滿足條件的a，使得△BC'D'的面積為；②a 與b的函數表達式a=b（b＞0）

【解析】

（1）先利用坐標軸上點的特點確定出點A，B坐標，進而得出BC＝b﹣a，再利用點A，D坐標的得出AD＝b﹣a＝BC，另為利用A，D點的坐標特點得出AD∥BC即可得出結論；

（2）①利用對稱性和（1）中得出的四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出S△BC'D'＝S△BCD，根據三角形的面積公式得出S△BC'D'＝a（3﹣a），建立方程，判斷出此方程無解，即可得出不存在滿足條件的a，使得△BC′D′面積為；

②利用同角的余角相等得出，∠CC'O＝∠ABO進而得出∠△CC'O∽△ABO，得出C'O，最后用勾股定理即可得出結論．

（1）四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：

∵直線yx+a（a＞0）分別與x 軸、y 軸交于A、B 兩點，∴A（2a，0），B（0，a）．

∵C（0，b）、（b＞a），∴BC＝b﹣a．

∵D（2a，b﹣a），∴AD＝b﹣a＝BC．

∵A（2a，0），D（2a，b﹣a），∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

（2）①不存在滿足條件的a，使得△BC'D'的面積為，理由如下：

如圖1，連接BD，BD'，過點D作DE⊥y軸于E，∴DE＝OA＝2a．

∵點C、D關于直線AB的對稱點分別為C′、D′，∴S平行四邊形ABC'D'＝S平行四邊形ABCD．

∵DB，BD'分別是平行四邊形ABCD，ABC'D的對角線，∴S△BC'D'＝S△BCDBCDE（b﹣a）2a＝a（b﹣a）．

∵b＝3，∴S△BC'D'＝a（3﹣a），假設存在存在滿足條件的a，使得△BC′D′面積為，∴a（3﹣a），∴2a2﹣6a+5＝/span>0，而△＝36﹣4×2×5＝﹣4＜0，∴此方程無解，假設錯誤，∴不存在滿足條件的a，使得△BC'D'的面積為；

②如圖2，連接CC'，則直線AB垂直平分線CC'，∴∠CC'O+∠C'AB＝90°．

∵∠C'AB+∠ABO＝90°，∴∠CC'O＝∠ABO．

∵∠COC'＝∠AOB＝90°，∴△CC'O∽△ABO，∴，∴，∴C'O，由軸對稱的性質得：BC'＝BC＝b﹣a．在Rt△BC'O中，OB2+C'O2＝C'B2，∴a2+（）2＝（b﹣a）2，∴3b2﹣8ab＝b（3b﹣8a）＝0．

∵b＞a＞0，∴3b﹣8a＝0，∴，∴a 與b的函數表達式ab（b＞0）．