Question

【題目】已知拋物線y＝ax2﹣4ax+3a交x軸于A、B兩點（點A在點B左側），且拋物線頂點的縱坐標為﹣1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若P是拋物線上一點，過點P作PQ⊥x軸交直線l1：y＝x+t于點Q．若恰好存在三個點P使得PQ＝，求證：直線l1過點A；

（3）在（2）的結論下，直線l1與拋物線的另一個交點為D，直線l2：y＝kx+c（﹣4＜k＜﹣1）經過點A，過線段AD上一點E（異于點A、D）作x軸的垂線，分別與直l2、拋物線交于點F、G．連接GD，作FH∥GD交直線l1于點H，求EH長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）見解析；（3）EH長的取值范圍為：2＜EH＜5．

【解析】

（1）y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x2﹣4x+3），則點A、B的坐標為：（1，0）、（3，0），則函數的對稱軸為：x＝2，頂點為：（2，1），即可求解；
（2）恰好存在三個點P使得PQ＝，則出現如圖所示的情況，點Q在點P的上方只有一個，如圖P、Q點所示的情況，設點P（x，x2﹣4x+3），則點Q（x，x+t），PQ＝x+t﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+5x+t﹣3，因為1＜0，故PQ有最大值，此時，代入PQ，解得t的值，即可求解；
（3）設點E（m，m﹣1），則點G（m，m2﹣4m+3），點F（m，mk﹣k），點D（4，3），求出直線HF的表達式，聯立①②并解得：x＝m＋1k＝，求出EH，根據4＜k＜1，即可求得解．

（1）y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x2﹣4x+3），

則點A、B的坐標為：（1，0）、（3，0），

則函數的對稱軸為：x＝2，頂點為：（2，﹣1），

則y＝a（x﹣2）2﹣1＝ax2﹣4ax+4a﹣1，

故3a＝4a﹣1，解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x+3；

（2）恰好存在三個點P使得PQ＝，則出現如圖所示的情況，

點Q在點P的上方只有一個，如圖P、Q點所示的情況，

設點P（x，x2﹣4x+3），則點Q（x，x+t），

PQ＝x+t﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+5x+t﹣3，

∵﹣1＜0，故PQ有最大值，此時，

則，解得：t＝﹣1，

即y＝x﹣1，當x＝1時，y＝0，

所以直線l1過點A；

（3）將點A的坐標代入直線l2的表達式并解得：

直線l2的表達式為：y＝kx﹣k，

直線l1的表達式為：y＝x﹣1…①，

設點E（m，m﹣1），則點G（m，m2﹣4m+3），點F（m，mk﹣k），點D（4，3），

將點G、D的坐標代入一次函數表達式得：直線GD表達式中的k值為：，

FH∥GD，則設直線FH的表達式為：y＝mx+b，

將點F的坐標代入上式并解得：

直線HF的表達式為：y＝mx+（mk﹣k﹣m2）…②，

聯立①②并解得：x＝m+1﹣k＝，

則EH＝（）＝（m+1﹣k﹣m）＝（1﹣k），

而﹣4＜k＜﹣1，則2＜EH＜5；

故EH長的取值范圍為：2＜EH＜5．