Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線的頂點為A（﹣1，4），且經過點B（﹣2，3），與x軸分別交于C、D兩點（點C在點D的左側）．

（1）求該拋物線對應的函數表達式；

（2）如圖1，點M是拋物線上的一個動點，且在直線OB的上方，過點M作x軸的平行線與直線OB交于點N，連接OM．

①求MN的最大值；

②當△OMN為直角三角形時，直接寫出點M的坐標；

（3）如圖2，過點A的直線交x軸于點E，且AE∥y軸，點P是拋物線上A、D之間的一個動點，直線PC、PD與AE分別交于F、G兩點．當點P運動時，EF+EG的和是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①；②點M的坐標為（0，3）或（）；（3）EF+EG的和為定值，該定值為8，理由見解析

【解析】

（1）由拋物線的頂點坐標可設拋物線對應的函數表達式為y＝a（x+1）2+4，代入點B的坐標可求出a值，進而可得出拋物線對應的函數表達式；

（2）①由點B的坐標利用待定系數法可得出直線OB的函數表達式，聯立直線OB和拋物線的函數表達式成方程組，通過解方程組可求出直線和拋物線的交點坐標，設點M的坐標為（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣2＜m＜），則點N的坐標為（，﹣m2﹣2m+3），進而可得出MN＝，再利用二次函數的性質即可解決最值問題；

②由MN∥x軸可知∠ONM≠90°，分∠OMN＝90°和∠MON＝90°兩種情況考慮：（i）當∠OMN＝90°時，線段OM在y軸上，利用二次函數圖象上點的坐標特征即可求出點M的坐標；（ii）當∠MON＝90°時，OM⊥OB，由點B的坐標可得出直線OM過點（3，2），進而可得出直線OM對應的函數表達式，聯立直線OM和拋物線的函數表達式成方程組，通過解方程組可求出點M的坐標；

（3）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C，D的坐標，設點P的坐標為（n，﹣n2﹣2n+3）（﹣1＜n＜1），利用待定系數法可求出直線CP，DP對應的函數表達式，由點A的坐標結合AE∥y軸可得出直線AE對應的函數表達式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點F，G的坐標，進而可得出EF，EG，EF+EG的值．

（1）∵拋物線的頂點為A（﹣1，4），

∴設拋物線對應的函數表達式為y＝a（x+1）2+4．

將B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，

解得：a＝﹣1，

∴拋物線對應的函數表達式為y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）①設直線OB對應的函數表達式為y＝kx（k≠0），

將B（﹣2，3）代入y＝kx，得：3＝﹣2k，

解得：k＝﹣，

∴直線OB對應的函數表達式為y＝﹣x．

聯立直線OB和拋物線的函數表達式成方程組，得： ，

解得： ．

設點M的坐標為（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣2＜m＜），則點N的坐標為（m2+m﹣2，﹣m2﹣2m+3），

∴MN＝m﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣m+2＝﹣（m+）2+．

∵﹣＜0，

∴當m＝﹣時，MN最大，最大值為．

②∵MN∥x軸，

∴∠ONM≠90°，

∴分兩種情況考慮（如圖3所述）：

（i）當∠OMN＝90°時，線段OM在y軸上．

∵當m＝0時，y＝﹣m2﹣2m+3＝3，

∴點M的坐標為（0，3）；

（ii）當∠MON＝90°時，OM⊥OB，

∵點B的坐標為（﹣2，3），

∴點（3，2）在直線OM上，

∴直線OM對應的函數表達式為y＝x．

聯立直線OM和拋物線的函數表達式成方程組，得： ，

解得： （不合題意，舍去）， ，

∴點M的坐標為（）．

綜上所述：點M的坐標為（0，3）或（）．

（3）當y＝0時，﹣x2﹣2x+3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴點C的坐標為（﹣3，0），點D的坐標為（1，0）．

設點P的坐標為（n，﹣n2﹣2n+3）（﹣1＜n＜1）．

∵點C的坐標為（﹣3，0），點D的坐標為（1，0），

∴直線CP對應的函數表達式為y＝（1﹣n）x+3﹣3n，直線DP對應的函數表達式為y＝﹣（n+3）x+n+3（可利用待定系數法求出）．

∵點A的坐標為（﹣1，4），AE∥y軸，

∴直線AE對應的函數表達式為x＝﹣1．

當x＝﹣1時，y＝（1﹣n）x+3﹣3n＝2﹣2n，y＝﹣（n+3）x+n+3＝2n+6，

∴點F的坐標為（﹣1，2﹣2n），點G的坐標為（﹣1，2n+6），

∴EF＝2﹣2n，EG＝2n+6，

∴EF+EG＝8．

∴EF+EG的和為定值，該定值為8．