Question

【題目】二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖，若|ax2+bx+c|=k有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是____．

Answer 1

【答案】k=0或k＞2．

【解析】

先根據題意畫出y＝|ax2＋bx＋c|的圖象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k（k≠0）有兩個不相等的實數根時，k的取值范圍．

解：∵當ax2＋bx＋c≥0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象在x軸上方，

∴此時y＝|ax2＋bx＋c|＝ax2＋bx＋c，

∴此時y＝|ax2＋bx＋c|的圖象是函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x軸上方部分的圖象．

∵當ax2＋bx＋c＜0時，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象在x軸下方，

∴此時y＝|ax2＋bx＋c|＝－(ax2＋bx＋c)，

∴此時y＝|ax2＋bx＋c|的圖象是函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x軸下方部分與x軸對稱的圖象．

∵y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點縱坐標是－2，

∴函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x軸下方部分與x軸對稱的圖象的頂點縱坐標是2，

∴y＝|ax2＋bx＋c|的圖象如右圖．

∵觀察圖象可得當k≠0時，

函數圖象在直線y＝2的上方時，縱坐標相同的點有兩個，

函數圖象在直線y＝2上時，縱坐標相同的點有三個，

函數圖象在直線y＝2的下方時，縱坐標相同的點有四個，

∴若|ax2＋bx＋c|＝k有兩個不相等的實數根，

則函數圖象應該在y＝2的上邊，

故k＝0或k＞2．