Question

【題目】如圖，分別是正方形的邊的中點，以為邊作正方形 ，與交于點，聯結．

（1）求證：；

（2）設，求證．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先說明△ADE≌△DCF,然后再利用同角的余角相等以及垂直的定義即可證明；

（2）先證△ADE∽△ECQ，得出，進而可得△AEQ∽△ADE∽△ECQ，然后根據相似三角形的性質即可證明．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°

在△ADE和△DCF中

∴△ADE≌△DCF（SAS）

∴∠EAD=∠CDF

∵∠AED+∠EAD=90°

∴∠AED+∠CDF=90°

∴AE⊥DF；

（2）∵∠ADE=∠C，∠CEQ=∠EAD，

∴△ADE∽△ECQ

∵E是CD的中點

∴，

∵∠ADE=∠C=90°

∴△AEQ∽△ADE∽△ECQ

設CE，則AD=2a，AE=

∴，，

∴．