Question

（2012•保定一模）四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點．如圖，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD=PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點．
（1）如圖2，畫出菱形ABCD的一個準等距點．
（2）如圖3，作出四邊形ABCD的一個準等距點（尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（3）如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求證：點P是四邊形ABCD的準等距點．

Answer 1

分析：（1）根據菱形的性質，在菱形對角線上找出除中心外的任意一點即可；
（2）作對角線BD的垂直平分線于與另一對角線AC相交于點P，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得點P即為所求的準等距點；
（3）連接BD，先利用“角角邊”證明△DCF和△BCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得CD=CB，再根據等邊對等角的性質可得∠CDB=∠CBD，從而得到∠PDB=∠PBD，然后根據等角對等邊的性質可得PD=PB，根據準等距點的定義即可得證．

解答：解：（1）如圖2，點P即為所畫點．…（1分）（答案不唯一）
（2）如圖3，點P即為所作點．…（2分）（答案不唯一．）


（3）證明：連接DB，
在△DCF與△BCE中，

∠DCF=∠BCE ∠CDF=∠CBE CF=CE

，
∴△DCF≌△BCE（AAS），
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD．
∴∠PDB=∠PBD，
∴PD=PB，
∵PA≠PC
∴點P是四邊形ABCD的準等距點．

點評：本題考查了復雜作圖，主要利用了線段垂直平分線的作法，全等三角形的判定與性質，讀懂題意，理解準等距點的定義是解題的關鍵．