Question

【題目】如圖，在菱形中，，點為邊上一動點(與點不重合)，連接將的兩邊所在射線以點為中心，順時針旋轉分別交射線于點．

（1）依題意補全圖形；

（2）若，求的大小(用含的式子表示) ；

（3）用等式表示線段與之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）詳情見解析；（2）∠AFC=α+30°；（3）AF+AE=CG，證明見解析

【解析】

（1）按照要求，利用旋轉的性質得出對應點的位置，從而得出答案即可；

（2）利用旋轉性質得出∠ECF=∠ACG=120°，由此進一步求出∠ACE=∠FCG=α，然后結合菱形的選擇可知∠DAC=∠BAC=30°，據此進一步求出答案即可；

（3）作CH⊥AG于點H，首先證明△ACE與△GCF全等，由此進一步得出HG=CG×cos∠CGH，據此進一步求得AG=CG，進而得出答案即可.

（1）補全的圖形如圖所示：

（2）由旋轉性質可得：∠ECF=∠ACG=120°，

∴∠ACE+∠ACF=∠ACF+∠FCG，

∴∠ACE=∠FCG=α，

∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，

∴∠DAC=∠BAC=30°，

∴∠AGC=30°，

∴∠AFC=α+30°；

（3）線段與之間的數量關系為：AF+AE=CG，證明如下：

如圖，作CH⊥AG于點H，

由（2）可得：∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°，

∴CA=CG，

∴HG=AG，

在△ACE與△GCF中，

∵∠ACE=∠GCF，CA=CG，∠CAE=∠CGF，

∴△ACE△GCF（ASA），

∴AE=FG，

在Rt△HCG中，

HG=CG×cos∠CGH=CG，

∴AG=CG，

即：AF+AE=AF+FG=AG=CG，

∴線段與之間的數量關系為：AF+AE=CG.