Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于點A，B，AB＝2，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝2.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設P為對稱軸上一動點，求△APC周長的最小值；

(3)求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2－4x＋3；(2)△APC的周長＝3；(3)S△ABC＝3.

【解析】

（1）由拋物線的對稱性可求得點A、B的坐標，然后代入解析式求得b、c的值即可；

（2）連接BC，交x=2與點P，然后求得可證明△APC的周長=AC+BC，最后求得BC、AC的長即可．

（3）根據三角形面積公式進行計算即可.

（1）∵點A與點B關于x=2對稱，AB=2，

∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（3，0）．

將點A、B的坐標代入得：

解得：．

∴拋物線的解析式為y=x2-4x+3．

（2））如圖所示：連接BC交直線x=2與點P．

將x=0代入拋物線的解析式得：y=3．

∴OC=3．

∵點A與點B關于x=2對稱，

∴PA=PB．

∴△ACP的周長=AC+AP+CP=AC+PB+CP=AC+CB．

在Rt△AOC中，AC=，

在Rt△COB中，BC=．

∴△ACP周長的最小值3+．

（3）S△ABC＝×2×3＝3.