Question

【題目】如圖，在中，，以直角邊為直徑的交斜邊于點．點為邊的中點，連接并延長交的延長線于點，

（1）求證：直線的切線；

（2）若，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）分別連結OD，OC，可證得是直角三角形，根據點是斜邊的中點，得到，由∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°得∠EDC+∠ODC=∠ODE=90° ，從而證得直線的切線；

（2）由（1）已證∠ODF=90°，根據∠B=30°，可得∠DOF=60°，得到∠F=30°，在中，可求得BC長，從而得到OD長，在中，可求得DF長，所以陰影部分面積=△ODF的面積-扇形OCD的面積.

證明：（1）分別連結

，

又是的直徑，

，

是直角三角形，

又點是斜邊的中點，

，

又

，

直線是的切線．

解：（2）由（1）已證：，

，

，

，

在中，

在中，

陰影部分的面積為：