Question

【題目】如圖所示：△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角頂點C在x軸上，一銳角頂點B在y軸上.

（1）如圖1所示，若C的坐標是（2，0），點A的坐標是（﹣2，﹣2），求：點B的坐標；

（思路提示：過點A作AD⊥x軸于點D，通過證明△BOC≌△CDA來達到目的.）

（2）如圖2，若y軸恰好平分∠ABC，AC與y軸交于點D，過點A作AE⊥y軸 于E，問BD與AE有怎樣的數量關系，并說明理由；

（3）如圖3，直角邊BC的兩個端點在兩坐標軸上滑動，使點A在第四象限內，過A點作AF⊥y軸于F，在滑動的過程中，兩個結論①為定值；②為定值，只有一個結論成立，請你判斷正確的結論加以證明，并求出定值．

Answer 1

【答案】(1) （0，4）；(2) BD=2AE,理由見解析；（3）1

【解析】試題分析：（1）過點A作AD⊥x軸，可證△ADC≌△COB，根據全等三角形對應邊相等即可解題；（2）延長BC，AE交于點F，可證△ACF≌△BCD，△ABE≌△FBE，即可求得BD=2AE；

（3）作AE⊥OC，則AF=OE，可證△BCO≌△ACE，可得AF+OB=OC，即可解題．

試題解析：

（1）過點A作AD⊥x軸，

∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠BCD=∠DAC，

在△ADC和△COB中，

，

∴△ADC≌△COB（AAS），

∴AD=OC，CD=OB，

∴點B坐標為（0，4）；

（2）延長BC，AE交于點F，

∵AC=BC，AC⊥BC，

∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠COD=22.5°，∠DAE=90°﹣∠ABD﹣∠BAD=22.5°，

在△ACF和△BCD中，

，

∴△ACF≌△BCD（ASA），

∴AF=BD，

在△ABE和△FBE中，

，

∴△ABE≌△FBE（ASA），

∴AE=EF， ∴BD=2AE；

（3）作AE⊥OC，則AF=OE，

∵∠CBO+∠OBC=90°，∠OBC+∠ACO=90°，

∴∠ACO=∠CBO，

在△BCO和△ACE中，

，

∴△BCO≌△ACE（AAS）， ∴CE=OB， ∴OB+AF=OC．

∴=1．