Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC, ∠ABC=90 ,點E在BD上，點F在射線CD上，AE=EF,∠AEF=90 .

（1）若∠ABE=∠AEB,AG⊥BD,垂足為G,求證：BG=GE.

（2）在（1）的條件下，猜想線段CD與DF的數量關系，并證明你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CD=DF，理由詳見解析.

【解析】

（1）由∠ABE=∠AEB可得AB=AE，根據等腰三角形三線合一的性質即可證得BG=GE；（2）CD=DF，過點C作CP⊥BD于P，過點F作FQ⊥BD交BD的延長線于Q，證明△BCP≌△EFQ，根據全等三角形的性質可得CP=FQ，再證明△CPD≌△FQD，根據全等三角形的對應邊相等即可證得結論.

（1）∵∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

∵AG⊥BD，

∴BG=GE；

（2）CD=DF，理由如下：

如圖，過點C作CP⊥BD于P，過點F作FQ⊥BD交BD的延長線于Q，

∴∠BPC=∠DPC=∠FQE=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABD+∠CBD=90°，

∵∠ABE=∠AEB，

∴∠AEB+∠CBD=90°，

在△BCP和△EFQ中，

在△CPD和△FQD中，