Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，△AOB為等腰直角三角形，A(4,4).

（1）點B坐標為

（2）如圖2，若C為x軸正半軸上一動點，以AC為直角邊作等腰Rt△ACD,∠ACD=90,連OD,求∠AOD的度數；

（3）如圖3，過點A作y軸的垂線交y軸于點E,F為x軸負半軸上一點，點G在EF的延長線上，以EG為直角邊作等腰Rt△EGH,過點A作x軸垂線交EH于點M,連FM,等式=1是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（8，0）；（2）90°；（3）=1成立，理由詳見解析.

【解析】

（1）因為△AOB為等腰直角三角形，A（4，4），作AE⊥OB于E，則B點坐標可求；（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，求證△DFC≌△CEA，再根據等量變換，證明△AOB為等腰直角三角形，則∠AOD的度數可求；（3）等式成立．在AM上截取AN=OF，連EN，易證△EAN≌△EOF，再根據角與角之間的關系，證明△NEM≌△FEM，則有AM-MF=OF，即可求證等式成立．

（1）作AE⊥OB于E，

∵A（4，4），

∴OE=4，

∵△AOB為等腰直角三角形，且AE⊥OB，

∴OE=EB=4，

∴OB=8，

∴B（8，0）；

故答案為：（8，0）；

（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，

∵△ACD為等腰直角三角形，

∴AC=DC，∠ACD=90°

即∠ACF+∠DCF=90°，

∵∠FDC+∠DCF=90°，

∴∠ACF=∠FDC，

又∵∠DFC=∠AEC=90°，

∴△DFC≌△CEA，

∴EC=DF，FC=AE，

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

∴FC=OE，

即OF+EF=CE+EF，

∴OF=CE，

∴OF=DF，

∴∠DOF=45°

∵△AOB為等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；

（3）成立，理由如下：

在AM上截取AN=OF，連EN．

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，

∴△EAN≌△EOF(SAS)

∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，

又∵△EGH為等腰直角三角形，

∴∠GEH=45°，

即∠OEF+∠OEM=45°，

∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°，

∴∠NEM=45°=∠FEM，

又∵EM=EM，

∴△NEM≌△FEM(SAS)，

∴MN=MF，

∴AM－MF=AM－MN=AN，

∴AM－MF=OF，

即=1.