Question

【題目】如圖，長方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是BC邊上任一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處，當CE的長為_____時，△CEB′恰好為直角三角形．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

當△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：

①當點B′落在矩形內部時，如答圖1所示．

連結AC，先利用勾股定理計算出AC＝5，根據折疊的性質得∠AB′E＝∠B＝90°，而當△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C＝90°，所以點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，則EB＝EB′，AB＝AB′＝3，可計算出CB′＝2，設BE＝x，則EB′＝x，CE＝4﹣x，然后在Rt△CEB′中運用勾股定理可計算出x，可得CE的長；

②當點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．此時ABEB′為正方形，可得BE的長，即可求CE的長．

解：當△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：

①當點B′落在矩形內部時，如答圖1所示．

連結AC，

在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝ ＝5，

∵∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處，

∴∠AB′E＝∠B＝90°，

當△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C＝90°，

∴點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，

∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，

∴CB′＝5﹣3＝2，

設BE＝x，則EB′＝x，CE＝4﹣x，

在Rt△CEB′中，

∵EB′2+CB′2＝CE2，

∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，

∴BE＝，CE＝4﹣＝

②當點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．

此時ABEB′為正方形，

∴BE＝AB＝3，

∴CE＝BC﹣BE＝4﹣3＝1

綜上所述：CE＝1或

故答案為：1或