Question

【題目】已知：關于x的方程，

（1）求證：無論k取任何實數值，方程總有實數根；

（2）若等腰三角形ABC的一邊長a=1，兩個邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△ABC的周長為5．

【解析】

（1）根據一元二次方程根與判別式的關系即可得答案；

（2）分a為底邊和a為腰兩種情況，當a為底邊時，b=c，可得方程的判別式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；當a為一腰時，則方程有一根為1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根據三角形的三邊關系判斷是否構成三角形，進而可求出周長．

（1）∵判別式△=[-(k+2)]-4×2k=k-4k+4=(k-2)≥0，

∴無論k取任何實數值，方程總有實數根．

（2）當a=1為底邊時，則b=c，

∴△=(k-2)=0，

解得：k=2，

∴方程為x2-4x+4=0，

解得：x1=x2=2，即b=c=2，

∵1、2、2可以構成三角形，

∴△ABC的周長為：1+2+2=5．

當a=1為一腰時，則方程有一個根為1，

∴1-（k+2）+2k=0，

解得：k=1，

∴方程為x2-3x+2=0，

解得：x1=1，x2=2，

∵1+1=2，

∴1、1、2不能構成三角形，

綜上所述：△ABC的周長為5．